Introdução ao método dos volumes finitos

Este post continua o assunto sobre o método dos volumes finitos discutido anteriormente.

A aproximação discreta de uma equação de conservação pelo método dos volumes finitos tem por objetivo dividir o domínio de cálculo em um certo número de subdomínios, nos quais a lei física de conservação seja feita válida, dentro de um certo grau de aproximação. Esta aproximação pode ser obtida de duas formas. A primeira forma é a utilização do balanço da propriedade conservada para cada um dos subdomínios. O segundo modo é a integração da equação de conservação, na forma conservativa, no volume do subdomínio. Evidentemente, ambos os métodos levam ao mesmo resultado, pois a equação de conservação se originou através de um balanço da propriedade em um volume finito, como mostrado na equação da continuidade, para a conservação de massa.

Considere, por exemplo, a equação da continuidade em duas dimensões espaciais, usando a geometria cartesiana. A figura abaixo (clique nela para aumentar) mostra um subdomínio do domínio bidimensional da equação e onde está representada a nomenclatura de determinados pontos dentro ou na superfície deste subdomínio ou volume finito, bem como os fluxos mássicos que atravessam cada face no intervalo de tempo ∆t.

Assim a variação da massa dentro deste volume, no intervalo ∆t, é dada pelo balanço

que dividindo pelo produto ∆t ∆x∆y leva aque é a equação discretizada para o volume finito em questão.

A equação acima também pode ser obtida através da integração da equação da continuidade (colocada na forma da primeira equação do post anterior), sem o termo em ρw, utilizando o operador integral abaixo
Assim, a aproximação discreta é obtida pelos dois procedimentos. Usualmente, é mais fácil obter a equação aproximada através da integração da equação de conservação na forma divergente, já que muitas grandezas têm balanços bem complexos.

Note que a equação discretizada ainda é uma expressão exata para a conservação de massa no volume em questão, pois a forma de cálculo dos fluxos médios através das faces e das densidades médias no volume ainda não foi especificada. A aproximação destas grandezas utilizando seus valores em pontos discretos da malha e em um dado instante de tempo é que introduz o erro da aproximação numérica.

A figura abaixo mostra a estrutura básica de uma malha unidimensional de volumes finitos. Usualmente, os valores das variáveis dependentes são armazenados nos centros dos volumes (P, W, E) ou nos centros de determinadas faces (w, e). Os valores necessários destas variáveis em outras posições são obtidos por processos convenientes de interpolação. Em um mesmo problema, algumas das variáveis dependentes podem ser armazenadas nos centros dos volumes, enquanto que outras ficam armazenadas em pontos sobre as faces. Assim, o método de volumes finitos pode utilizar várias malhas para um mesmo problema (malhas entrelaçadas).
Do que foi exposto acima, ficam bem claras as diferenças entre o método das diferenças finitas e o método dos volumes finitos. O primeiro se baseia na aplicação da equação diferencial em pontos discretos de uma malha e na utilização de aproximações das derivadas utilizando séries de Taylor. O segundo aplica a equação diferencial de conservação a subdomínios de uma determinada malha através da sua integração em cada volume. De fato, os termos de transporte convectivo são os responsáveis pelas maiores dificuldades numéricas na solução de equações diferenciais parciais onde funções de interpolação devem ser aplicadas.

Nesta seqüência de posts foram apresentados alguns conceitos de conservação de propriedade e discretização por volumes finitos. Analisando o exemplo da discretização unidimensional, como você estenderia a última figura para o caso bidimensional?